計算とものさし ～うりざね形の作図を通して～ (その３)　2005.4.10. 　　　　その１　 home

算数でどうしてもわからない問題があるので教えて下さい。

「縦と横の長さの比が３：５の長方形があります。
この長方形の縦と横の長さを５㎝ずつ長くすると、
縦と横の長さの比が７:１０になります。
この長方形の面積は、何平方㎝ですか？」

という問題があって答えは１３５平方㎝（９㎝×１５㎝）なんですが、
式がわかりません。どなたか教えてください。（注１）

答えはできているのに式がわからないというのは、おそらくつぎのような計算をして答えを見つけたのだと思います。

　長方形(縦３cm 横５cm)を置き、縦横に各５㎝を加える。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　結果は、長方形(縦８cm 横１０cm)。　×縦横の比は４：５。
　長方形(縦６cm 横１０cm)を置き、縦横に各５㎝を加える。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　結果は、長方形(縦１１cm 横１５cm)。×縦横の比は１１：１５。
　長方形(縦９cm 横１５cm)を置き、縦横に各５㎝を加える。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　結果は、長方形(縦１４cm 横２０cm)。◎縦横の比は７：１０。

　長方形(縦３：横５)というものの実例を、現実的な範囲で、いくつか想定して、その中から適したものを選ぶ。
　こういうことが出来るというのも、比例の意味がよくわかっているからで、楽に問題を解いた余裕でもって、計算式がわからないという不満も感じたのでしょう。
　計算式がわからないのに、正解を早く見つける方法は知っているというのはどういうことでしょうか。

式がわからなければ自ら考案しよう

　上の例は「下手な鉄砲も数打ちゃ当たる」という試行錯誤的な解決法でした。私もかねてはこういうことしか考えられないのです。
　しかし正解に至ったことに相違はないので、何かこつがあるなら、それは私の解答の中にも隠れているはずです。

　　長方形(縦９cm 横１５cm)は、比(３：５)の３倍になっている。・・・・・比の縦横の差(５－３)は、２である。

　　長方形(縦１４cm 横２０cm)は、比(７：１０)の２倍になっている。・・・比の縦横の差(１０－７)は、３である。

　小さな長方形に与えられる寸法は、大きな長方形の縦横比の差(３)を見ればわかる。また、
　大きな長方形に与えられる寸法は、小さな長方形の縦横比の差(２)を見ればわかる。
というふうになっているようです。これがこつ(式)だとすると、答案はつぎのようになりそうです。

1_1）小さな長方形について、
　縦横の長さの比(３：５)の縦横の差(２)をとる。
　　縦：差：横＝３：２：５

1_2）大きな長方形についても、
　縦横の長さの比(７：１０)の縦横の差(３)をとる。
　　縦：差：横＝７：３：１０

2）２つの比例式の差の数を揃える。
　(差の数を互いに相手の比例式全体に掛け合う。*)

　小さな長方形(×３)　縦：差：横＝　９：６：１５
　大きな長方形(×２)　縦：差：横＝１４：６：２０

3）縦横ともに比の開きは５で、このまま５cmに相当する。
　小さな長方形(縦　９cm、横１５cm)
　大きな長方形(縦１４cm、横２０cm)

4）答え；この長方形の面積は１３５平方cm（９cm×１５cm）

２つの長方形の、縦の長さの差と横の長さの差が等しいと、
　　　　正方形をなす部分の端(点線)が揃うことになる。

　（ * ここでは５cmという実寸はぼかして、とにかく等しい長さが、縦と横に、加えられるようにする。）

方眼紙があればもっと簡単に解ける

　しかし、この問題に限っては、こうしてやや複雑な比例関係を論じる問題にしてしまうことへの疑念が最初からあって、嫌な感じがしていたのですが(注２)、「式がわからない」という一言で進路を決められてしまいました。
　気持ちを新たにして、問題文を読み直してみます。

縦と横の長さの比が３：５の長方形があります。
この長方形の縦と横の長さを５㎝ずつ長くすると、
縦と横の長さの比が７:１０になります。
この長方形の面積は、何平方㎝ですか？

　はじめに「５cmずつ長くする」ものを描き、つぎに縦横の長さの比を見て、各長方形の対角線の傾きを知り、交点を描きだして、そこをものさしで測って、９cm、１５cm。


比例と単位

 　〔クリック〕→実寸大の画像を見る

　比例問題の面白みを台無しにするようですが、こうして対角線を描けば確実な答えが得られると思います。
　そういいつつ、図の１cmを測ってみたら、半分(0.525cm)しかなかった。やむをえないことですが、
　どこに居ても大きさが変わらないものが単位だとすれば、それを否定するような表現は好ましくないので、
　クリックして、大きな画像を見てください。

（注１）Ｙａｈｏｏ！知恵袋　http://knowledge.yahoo.co.jp/

（注２）
　いつでも方程式を立てて解くのが最善かというと、私はそうは思わない。これは題材(文章題の内容)によるのではないか。
　仮に題材がつぎのように果物であれば、それが最善だとは思いますが。

林檎と蜜柑が入っている果物籠があります。
林檎と蜜柑の数の比は３：５です。
林檎と蜜柑にそれぞれ５個ずつ加えると、
林檎と蜜柑の数の比が７:１０になります。
この果物籠に入っている果物の数は、全部で何個ですか？

　(３ｎ＋５)：(５ｎ＋５)＝７：１０
　１０(３ｎ＋５)＝７(５ｎ＋５)
　３０ｎ＋５０＝３５ｎ＋３５
　－５ｎ＝－１５
　ｎ＝３個

　３ｎ＋５ｎ ＝ ９＋１５ ＝ ２４個

　５個ずつ加える林檎と蜜柑はどうせ空想のものに終るものだけど、５ｃｍずつ長くする縦と横の幅は眼前に再現できるものです。
　そのとき、その絵が課題の解決にあまり寄与していないとすれば悲しい。
　

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