円とパラボラが接するとき   205.3.17.  home

　円とパラボラが２点で接しています。両者は、左側では傾きをともに45度にし。右側ではともに−45度にしています。したがって、左右の接点の間に円の４分の１周にあたる円弧があることになりますが、こういうふうに、接して、離れて、また接することで、パラボラと円と間にある共通点が生じるというか、ある要素の総量がまったく同じになる。説明は後回しにして、さきに、そのかたちを右の図にあらわしています。

　パラボラもここでは放物線のグラフとして見るほうが便利です。空中に放り投げられた物体が向きを変えながら急速に落下する。青緑の線で描いた長方形は、物体に下向きの加速度を与えて放物線の軌跡を描かせる重力の大きさは終始不変であるといえば想像がつくと思います。そこで、もし同様の影響力によって円形の軌跡を描かせるとすれば、その重力は適時に変化しなければならず、そのありさまは真ん中に深い窪みをもつ長方形(黄色)のように表されることになる。しかし２つの図形の面積はなぜか等しい。

　本当は以上のような物理的な説明は最後にしたかった。というのは、下の図・表のように、パラボラも円も同じ区間をとって、各地点の位置関係を測量的に調べた結果を基に述べているので、万物の落下現象はあとから類推されることがらだから。パラボラはともかく、円に関して重力が変化するなどというのは、まったくの想像であって、我ながらはなしになりません。

　
位置と高さの変化

　パラボラ　　　　　　　　円
　ｙ＝15−(1/20)(ｘ)^2   (ｘ)^2＋(ｙ)^2＝200

　グラフの右半分(第一象限)を接点(10,10)を限りに10区間に分けて、位置(ｙ)の変化を調べてみました。
　まず、パラボラ・円ともに、縦線と交わる点の位置(ｙ)を明らかにします。これをもとに、隣りあう２点の位置(ｙ)を比べて、階段の高さを算出します。
　つぎに、隣りあう階段の高さを比べて、前後の高さの差益つまり高さが増加した分量を算出します。
　結果は右表のようになりました。

パラボラ　階段の高さは等差数列的に増大しているので、差益は一帯に均一な値を示しています。そこで、百分千分とさらに区間を細分したときも、やはり均一な値を示すものと期待されます。
　もし階段の高さを同一平面上に並べたとすると、均一な階段が見られるわけです。高さが変化する様子を連続的に見ようとして、もっと微細に区切ったとき、高さの階段の角は削られて、１本の斜線で変化が表されるはずです。

円　高さも差益も順を追って増加しており、この表を見ただけでは、高さが連続的に変化する道筋を見極めるのは難しい。円の変化を表す曲線を描くために、階段の横幅をもっと狭めたときの高さを調べています。(下の図)　しかし、図形的な観点から見てゆくほうが簡単だったようです。(右の図と説明)

両者の面積の違いは、全体の高さの違いを反映しなければなりません。全体の高さは階段の高さの和だから、これは当然です。

 
表１
パラボラ 円
ｘ ｙ 高さ 差益 ｙ 高さ 　差益
-1 14.95 　 　 14.1067359796 　 　
　 　 -0.05 　 - 0.0353996441 　
0 15 　 0.1 14.1421356237 　 0.0707992882
　 　 0.05 　 　 0.0353996441 　
1 14.95 　 0.1 14.1067359796 　 0.0713363355
　 　 0.15 　 　 0.1067359796 　
2 14.8 　 0.1 14. 　 0.0729890594
　 　 0.25 　 　 0.179725039 　
3 14.55 　 0.1 13.8202749610 　 0.0758899558
　 　 0.35 　 　 0.2556149948 　
4 14.2 　 0.1 13.5646599662 　 0.0802884161
　 　 0.45 　 　 0.3359034109 　
5 13.75 　 0.1 13.2287565553 　 0.0866046696
　 　 0.55 　 　 0.4225080805 　
6 13.2 　 0.1 12.8062484748 　 0.0955346669
　 　 0.65 　 　 0.5180427474 　
7 12.55 　 0.1 12.2882057274 　 0.1082591904
　 　 0.75 　 　 0.6263019378 　
8 11.8 　 0.1 11.6619037896 　 0.1268897372
　 　 0.85 　 　 0.753191675 　
9 10.95 　 0.1 10.9087121146 　 0.1555204396
　 　 0.95 　 　 0.9087121146 　
10 10 　 0.1 10. 　 0.2030934681
　 　 1.05 　 　 1.1118055827 　
11 8.95 　 　 8.8881944173 　 　
　 　 0~10 total(1~10) 0~10 total(1~10)
　 　 5　 1.0 4.1421356237 1.0102588486
　　total(1~10)　(1)と(10)の差益はその半分を算入しています。

　階段の高さは、隣りあう２点の位置(ｙ)を比べてわかるものですが、連続的な変化に達したところでは、点Ｐ(ｘ,ｙ)における接線の傾きとの関係によって決定されるようになると考えられる。

　区間の横幅をａとして、ａが極小になるとき、高さを含む直角三角形の斜辺は接線とほとんど重なると考えられる。このときには、

　階段の高さ＝(ｘ/ｙ)ａ

　但し　ｙ＝√{１−(ｘ)^2}

表２

(半径)^2 ｘ (ｘ)^2 200−(ｘ)^2 √{200−(ｘ)^2} 高さ 差分
　 　 　 　 　 　
200 -0.00001 0.0000000001 199.9999999999 14.14213562372741495411 　
　 　 　 - 0.0000000000035355339
200 0 0 200 14.14213562373095048801 0.0000000000070710678
　 　 　 　 0.0000000000035355339
200 0.00001 0.0000000001 199.9999999999 14.14213562372741495411 パラボラ
　 　 　 　 　 0.00000000001
　 　 　 　 　 　
200 9.99999 99.9998000001 100.0001999999 10.00000999999000000999 　
　 　 　 　 0.00000999999000000999
200 10 100 100 10. 　 0.00000000002000000002
　 　 　 　 0.00001000001000001001
200 10.00001 100.0002000001 99.9997999999 9.99998999998999998999 パラボラ
　 　 　 　 　 0.00000000001

　　円における差益の消長

　表２により、頂点(0,√20)における差益(0.0000000000070710678)と、接点(10,10)における差益(0.00000000002000000002)を見比べて、後者の値は前者の２√２倍にま近くなっています。極限において正に２√２倍になると確信させる結果です。
　途中の様子は 表３ を見てください。最初にお見せした図はこの表をグラフ化したものでした。

表３　差益の消長
パラボラ 円
0 0.00000000001 0.0000000000070710678
1 0.00000000001 0.00000000000712443423
2 0.00000000001 0.00000000000728862974
3 0.00000000001 0.00000000000757669744
4 0.00000000001 0.00000000000801314979
5 0.00000000001 0.00000000000863918795
6 0.00000000001 0.00000000000952279035
7 0.00000000001 0.00000000001077865509
8 0.00000000001 0.00000000001261019008
9 0.00000000001 0.00000000001540669744
10 0.00000000001 0.00000000002000000002
total 0.0000000001 0.00000000010049596602

total(1~10)　(1)と(10)の差益はその半分を算入しています。
円
差益は (ｒ/ｙ)^3 に従って消長する。

　円の直径を１としたときに、ＰＱ＝(ＰＲ)^2 と計算できます。

.
　お椀のような形をしたこの線形は何なのか？
　この線形がひとつの関数の軌跡と見られるとするなら、いったい如何なる関数の軌跡なのか？
という新たな課題がいま与えられました。
　接点における差益の値を頂点の２√２倍にする関数というと、

　(ｒ/ｙ)^3　　但し、(ｘ)^2＋(ｙ)^2＝(ｒ)^2

というものが候補として考えられ、しかもその軌跡は図の線形とぴったり重なっています。この結果、
　間隔を ａ、差益を ｄ とすると、
　ｎ・ａ＝ｒ、ａ→０において

　ｄ＝(ｒ/ｙ)^3・ａ、また ｄ/ａ＝(ｒ/ｙ)^3 

という等式が成り立つ。ｄ/ａ は、「傾きの差益」というようなものだから、頂点から接点までの総計は、接点における傾き(＝１)になるべきです。

　究極の差益が (ｒ/ｙ)の３乗にかかわることについて、図解を試みています。この図では階段の間隔が左右相違していますが、△ＰＱＳの３点が１点に重なって三角形の影も形も無くなったときには、左右の間隔が等しくなる、というふうに考えてください。

.
あとがき

　円とパラボラを同じ土俵にのせて徹底比較するというアイデアはよさそうでしたが、実情は巻き添えにして苦しめることになったようです。私自身も消耗しつつ、自ら播いた種をひとつ片付けることができました。しかし、とりつくしに関する課題がまだ残っています。

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