円錐とパラボラ   2005.3.2.記     home 円錐を、母線（頂点から底辺に下る線）と同じ方向に切断したとき、切断面はどういう形をしているでしょうか？ . 　切断された円錐を真上から見た図を描いてみました。
底円の直径が ８０、頂点の高さが ４０ という円錐を、高さ ３６ の１点から切り込みを入れて、傾き４５°にしたがって一刀両断に切断したという作図です。つぎのような手順で作図しています。 １）はじめに半径４０の円（円錐の底面）を描く。また、円錐斜面のたかまりを等高線であらわすために、半径１から３９まで３９個の同心円を描きました。 ２）半径４の同心円(高さ３６の等高線)上に１点を定めました。すなわち切断面の最高点です。 ３）つぎに半径３の同心円(高さ３７の等高線)に接する水平線を描き、以下同様に描いてゆきました。これらの水平線の間隔はすべて１になっているので、傾き４５°の平面をあらわしています。 １、半径３の同心円に接する水平線は半径５の同心円と左右とも出会いあらたな等高線の環をなしました。 ２、半径２の同心円に接する水平線は半径６の同心円と左右とも出会いあらたな等高線の環をなしました。 ３、半径１の同心円に接する水平線は半径７の同心円と左右とも出会いあらたな等高線の環をなしました。 ４、同心円(複数)の中心を通る水平線は半径８の同心円と左右とも出会いあらたな等高線の環をなしました。 ５、半径１の同心円に接する水平線は半径９の同心円と左右とも出会いあらたな等高線の環をなしました。 ６、以下１つづつ繰り下がる。
もとは円であった等高線の環が、切断後は、弧の両端の間が直線で結ばれた半端な円環になってしまいました。 ４）水平線が通っている範囲を緑色に塗りわけました。 　さて、この鐘の形をした平面図形はパラボラ（放物線形）なのか？　この図を眺めただけでは不明です。パラボラであるというために、（中心から）４、５、８、１３、２０、２９、４０番目の同心円を選び、曲線のところから縦線の列を引いてみる。（下左；縦線列を加えた図）この図をみると、縦線は等間隔で並んでいることがわかります。 　そこで、選ばれた同心円の順番から ４ を差し引くと、 　０、１、４、９、１６、２５、３６、という数列になっています。これは等高線の順番を（切り口を始点にして）数えるようなもので、この曲線を２次元座標の上で、ｙ＝４−(ｘ/4)^2　の軌跡というようなことにつながってゆきます。

. 　中心（焦点）に光をともすと、サーチライトになる。

　また、同心円を波紋にみなして、中心（焦点）に光をともしたとすると、稜線に到達した光は、跳ね返されて（上右図）、平行線の列をなす波紋になるはずです。切断面の等高線の平行はこのことも比喩しているように思います。

あとがき　August 8.2011

　作図手順の説明がまずくて、はたして何を言っているのか？本人さえわからなくなっていたのを、６年ぶりに書き改めました。
　あと、これは私の説明がいまだ明解の域に達していないことの言い訳になりますが、
　この「真上から見た図」というのは、切断斜面を見ているのではなくて、円錐の底面に投影されたその影を観察対象として見ているものです。
　この際、同心円を形成している等高線の列は、これこそ円錐表面の投影ですが、これもまた影そのものを観察に役立てています。
　これは棚から牡丹餅ですが、落ちて来たとき、焦点からの距離を画した絶好のものさしになっているのを、存分に活用しているわけです。

切断斜面を斜め上から見下ろした本当のすがたはまだ一度も見ていませんが、かわりにその影を観察したところ、これがパラボラであることを突き止めたのだから、初期の目的はあらかた達成されたというものです。 　とはいえ、その現物を展示することもせずに、それ(斜面)がパラボラであるという話を受け売りしていたのはいけなかった。また私の説明を低迷させる原因にもなったと思うので、遅ればせながら現物を展示することにします。 〔左図〕円錐全体の像が、例によって、下向きに投影されたところで、切断斜面の本当のすがたを写し取るために、スクリーンを斜め４５度に張っておきます。 と言いつつ、やっていることは、古画像(↑)の伸縮加工です。 〔下左図〕横幅はそのままにして、縦を[1.41倍]の長さに引き伸ばしています。 〔下右図〕縦幅はそのまま、横を[0.84倍]の長さに縮めた。寸足らずです。

パラボラ面だけでよいのに、等高線まで付いてきました。同心楕円の中心はたしかに円錐の頂点ですが、(光学的な)焦点の位置とはかけ離れています。ぜんたい無視してください。

　

ｈｏｍｅ