四角錐の体積 2006.1.28.            あゆみ(歩)

1つの立方体〔体積 1〕を分解すると、3つの四角錐(同形同大)ができる。
この結果、ひとつの四角錐の体積は、もとの立方体の体積の/、すなわち〔体積/〕であることがわかる。

〔図1〕
まず、
立方体を、三角柱(1、2)に切り分ける。

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つぎに、
  三角柱(1)を、四角錐(1)と三角錐(1)に切り分ける。
また、
  三角柱(2)を、三角錐(2)と四角錐(2)に切り分ける。
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〔図2〕

 

 三角錐(1)と三角錐(2)は、切断面を貼り合わて、ひとつにする。これにより、四角錐(3)ができる。

〔図3〕

 

 四角錐(1)と四角錐(2)は、真上から見ています。四角錐(3)は、真正面から見ています。
 3つとも、底面が正方形で、頂点(p)は隅の上に位置しています。
 したがって、これらのものは3つ互いに同形同大の四角錐であることがわかりました。
 では、ひとつの四角錐の体積はどうか? これは、もとの立方体の〔/〕になっているわけです。

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補足 その 百聞は一見に如かず

        

途中経過です。最終ステージはお見せできませんが、結果については容易に察しがつくと思います。

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(四)角錐の体積(底面の面積×高さ)
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というウロ覚えの公式も、ここまでやると、自分も遅れて発見した公式になる。
いちばんいいのは「やって見る」ことなので、こういう実験は、数学苦手という人に、特におすすめです。
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補足 その 蝶のように舞い、蜂のように刺す。

〔図4〕
     〔図2〕

 

三角錐(1)と、三角錐(2)は、よく似ているようでも、まるっきり同じ形とはいえませんが、どこがどういうふうに相違しているのか?
そのイメージをつかむために、2つの三角錐の表面を、展開図にして表してみました。
ところが、この展開図においては、三角錐(1)と、三角錐(2)は、お互いの区別がつきません。まったく同じ形だといわざるをえない。
ただし、まったく同じ展開図面でも、手前に閉じるか。奥に閉じるか。折り込む方向によって形に違いが生じる「四面体」と考えられます。
つぎに、2つの展開図面を継ぎ合わせて1つにします。この五面をなす展開図面は、折り込む方向によって形に違いが生じることはありません。
これが、すなわち 四角錐(3) です。
そこで、三角錐(1)と、三角錐(2)は、蝶々の羽のような、左右対称の形をなしていたといえるのではないでしょうか。

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立方体は、四角錐3つで出来ている

 

 

 1つの立方体〔体積 1〕を分解すると、3つの四角錐(同形同大)ができる。
 したがって、「立方体は 四角錐3つで出来ている」。それならば、立方体を四角錐3つに切り分けるのも、短刀直入に、3つに切り分けられるはずですが、私は回り道をしました。
 まず立方体を三角柱2つに切り分けて、それぞれ四角錐と三角錐に切り分けて、最後に三角錐2つを合わせて1つにしたところ、ここに四角錐3つがあり、3つを組合わせたら立方体になった。「なんだ、そういうことだったのか」と、ここで初めて真相を理解したわけです。

 立方体1個は必ず四角錐3つになるにしても、四角錐3つは立方体1個になるだろうか?
 あらためて、
 空になったジュースの紙パック(3個)を利用して、四角錐(3つ)を作ってみました。→

 3で割る理由については、まだいくつか検討しています。
 四角錐を切り分けてわかる3で割る3つの理由
 引き続き見ていただければ幸いです。

   円錐の体積(円柱3分身の秘密)          あゆみ(歩)