四角錐の体積　2006.1.28.　　　　　　　　　　　　あゆみ（歩）

１つの立方体〔体積 １〕を分解すると、３つの四角錐（同形同大）ができる。
この結果、ひとつの四角錐の体積は、もとの立方体の体積の１/３、すなわち〔体積１/３〕であることがわかる。

〔図１〕
まず、
立方体を、三角柱（１、２）に切り分ける。

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 つぎに、
　　三角柱（１）を、四角錐（１）と三角錐（１）に切り分ける。
また、
　　三角柱（２）を、三角錐（２）と四角錐（２）に切り分ける。
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〔図２〕

　

　三角錐（１）と三角錐（２）は、切断面を貼り合わて、ひとつにする。これにより、四角錐（３）ができる。

〔図３〕

　

　四角錐（１）と四角錐（２）は、真上から見ています。四角錐（３）は、真正面から見ています。
　３つとも、底面が正方形で、頂点（ｐ）は隅の上に位置しています。
　したがって、これらのものは３つ互いに同形同大の四角錐であることがわかりました。
　では、ひとつの四角錐の体積はどうか？　これは、もとの立方体の〔１/３〕になっているわけです。

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補足　その１　百聞は一見に如かず

        

途中経過です。最終ステージはお見せできませんが、結果については容易に察しがつくと思います。

.................１
(四)角錐の体積＝ ━（底面の面積×高さ）
.................３

というウロ覚えの公式も、ここまでやると、自分も遅れて発見した公式になる。
いちばんいいのは「やって見る」ことなので、こういう実験は、数学苦手という人に、特におすすめです。
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補足　その２　蝶のように舞い、蜂のように刺す。

〔図４〕
 		　 　　　〔図２〕

　

三角錐（１）と、三角錐（２）は、よく似ているようでも、まるっきり同じ形とはいえませんが、どこがどういうふうに相違しているのか？
そのイメージをつかむために、２つの三角錐の表面を、展開図にして表してみました。
ところが、この展開図においては、三角錐（１）と、三角錐（２）は、お互いの区別がつきません。まったく同じ形だといわざるをえない。
ただし、まったく同じ展開図面でも、手前に閉じるか。奥に閉じるか。折り込む方向によって形に違いが生じる「四面体」と考えられます。
つぎに、２つの展開図面を継ぎ合わせて１つにします。この五面をなす展開図面は、折り込む方向によって形に違いが生じることはありません。
これが、すなわち 四角錐（３） です。
そこで、三角錐（１）と、三角錐（２）は、蝶々の羽のような、左右対称の形をなしていたといえるのではないでしょうか。

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立方体は、四角錐３つで出来ている

　

　

 　１つの立方体〔体積 １〕を分解すると、３つの四角錐（同形同大）ができる。
　したがって、「立方体は 四角錐３つで出来ている」。それならば、立方体を四角錐３つに切り分けるのも、短刀直入に、３つに切り分けられるはずですが、私は回り道をしました。
　まず立方体を三角柱２つに切り分けて、それぞれ四角錐と三角錐に切り分けて、最後に三角錐２つを合わせて１つにしたところ、ここに四角錐３つがあり、３つを組合わせたら立方体になった。「なんだ、そういうことだったのか」と、ここで初めて真相を理解したわけです。

　立方体１個は必ず四角錐３つになるにしても、四角錐３つは立方体１個になるだろうか？
　あらためて、
　空になったジュースの紙パック（３個）を利用して、四角錐（３つ）を作ってみました。→

　３で割る理由については、まだいくつか検討しています。
　四角錐を切り分けてわかる３で割る３つの理由
　引き続き見ていただければ幸いです。

　　　円錐の体積（円柱３分身の秘密）　　　　　　　　　　あゆみ（歩）