方圓を測る　　　　　ｈｏｍｅ

　晋の劉徽は、「周１５７/直径５０」　という円周率（九章算術の注では「徽率」）を始めた人で、いわば円周率（３.１４）の生みの親である。
　但し、この　３.１４　という数値は、実用の便を考慮した約数（略数）つまり「約率（粗率）」であり、劉徽の研究は、半径１尺の円に内接する１９２觚の「冪　３１４寸・６２５分寸之６４」を示して、裕々と、その確実さを証明している。
（九章算術　劉徽注）

・・・・。之開方除之得小弦６分５厘３秒８忽餘分棄、 之即９十６觚之１面、以半径１尺乗之、又以４十８乗之、 得冪３萬１千４百１十億２千４百萬忽、以百億除之、 得冪３百１十４寸６百２十５分寸之６十４、 即１百９十２觚之冪也、

觚　　　　　　　　　　　周　　　（4*面積） 　 6 *　0.500000 = 3.000000  　12 * 0.258819 = 3.105829  (3.000000)  　24 * 0.130526 = 3.132629  (3.105829)   48 * 0.065403 = 3.139350  (3.132629) 　96 * 0.032719 = 3.141032  (3.139350)  192 *              　=　               (3.141032)

・・・・・・・。故還就１百９十２弧之全冪３百１十４寸、
以為圓冪之定率而棄其餘分、以半径１尺除圓冪之倍之、
得６尺２寸８分、即周數、令径自乗為方冪４００寸與圓冪
相折、圓冪得１百５十７為率、方冪得２百為率、方冪２百
其中容圓冪１百５十７也、圓率猶為微少、案弧田図、
令方中容圓圓中容方、内方合外方之半然則圓１百５十７、
其中容方冪１百也、

　劉徽が最終的に極めた円周率の値は「周３９２７/直径１２５０、（３.１４１６）」である。
　後に「周３５５/直径１１３、（３.１４１５９２）」という値を計算した宋の祖冲之は、約率「周２２/直径７（３.１４２８５）」を唱え、これが九章算術・李鳳注に採用されている（李鳳注において「密率」と呼ばれているのは比較的な意味であると理解される）。

　古之九数、円周率３、圓徑率１、其術疏舛。自劉<音欠>、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒、各設新率、未臻折衷。宋末、南徐州従事史祖冲之、更開密法、以圓径１億為１丈。円周盈數３丈１尺４寸１分５厘９毛２秒７忽、<月肉>數３丈１尺４寸１分５厘９毛２秒６忽、正數在盈<月肉>２限之間。密率、圓径１百１十３、円周３百５十５。約率、圓径７、周２十２。又設開差冪、開差立、兼以正圓参之。指要精密、算氏之最者也。所著之書、名為綴術、學官莫能究其深奥、是故廃而不理。
（隋書巻１５、志第１１、律暦上）

　気安く「約率」とはいえ、その裏には奥深い数学研究が隠されている。劉徽や祖冲之は稀に見る高尚な数学者だが、なかなかどうして俗世間のこともちゃんと考えていたわけである。
　さて、九章算術本来の「周３径１」もれっきとした「約率」で、「周１５７径５０」や「周２２径７」と肩を並べている。とはいえ、（3/1）/（22/7）＝21/22＝0.9545、というように（大秀才の祖冲之に）比較評価されると、肩身が狭くてひけめを感じるが、９５点もとっているのだから、なにも落胆することはない。

方１尺、円冪１５６.２５寸。

　ところで、祖冲之は、古制の研究において「円周率（３.１２５）」に相当する潜在的なものを明らかにしていたふしがある。これは「円周率に対する制度的な要請」というほうが適切であるが、今回は、円周率の知られざる側面を「方圓」の問題を通して検討してみたい。

周禮、　氏
　「為量、鬴、深尺、内方尺而圓其外、其實１鬴、其臀１寸、其實１豆、其耳３寸、其實１升。重１釣。
　　其聲中黄鍾。概而不税。
　其銘曰『時文思索、充　其極。嘉量既成、以観四國。永啓厥後、茲器維則。』」
春秋左氏傳曰
　「齋舊四量、豆、区、鬴、鍾。４升曰豆、各自其４、以登於鬴。」
鄭玄以為
　　方尺積１０００寸、比九章粟米法少２升、８１分升之２２。
祖冲之以算術考之、
　　積凡１５６２寸半。方尺而圓其外、減傍１厘８毛。其径１尺４寸１分４毛７秒２忽有奇而深尺、
　　即古斛之制也。
　　　　　　　　　　　　『隋書律暦志　（隋書巻１６　志第１１律暦上）』

　周の時代に「嘉量」という円筒形の枡（ます）が制定された。そのことが周禮に述べられている。器物としての嘉量の形状については、新の時代になるが嘉量の遺品が保存されているので、周の嘉量もそれと同様のものを想像して間違いはないだろう。そこで、周嘉量と新嘉量（漢嘉量）とを比較しながら検討する。
　まず、周嘉量の「鬴」は、「深尺、内方尺而圓其外、」というから、その円筒は、底面が直径が（√２）尺の円をなし、深さが１尺である。
　祖冲之は、その算術によって、周嘉量（鬴）を考察し、
「容積は１５６２.５寸（深さが１０寸、底面積１５６.２５寸）と考えられる。底面に、４辺各１尺の正方形に内接する円を描くと、直径が（√２）尺＝１尺４寸１分４厘２毛１秒３忽余りになるが、面積を正確に１５６.２５寸におさめるためには、直径の両端を各１厘８毛削減して、直径１尺４寸１分４毛７秒２忽余りとしなければならない。深さは１尺。これがすなわち古い斛の制度である。」と述べている。
　この計算は、

　４＊１５６.２５＊（113/355）＝１９８.９４３６余り、　√１９８.９４３６余り＝１４.１０４７３余り、

ということで、祖冲之薬籠中の密率（113/355）によるものである。そんな密率を知るよしもない古人が１厘８毛という仕事をしたというのは空想にすぎない。「方尺を環る円を（迷いなく）描けば面積はぴったり１５６.２５寸になる」と古人は考えていたはずである。それよりも、「積凡１５６２寸半」と推測された根拠が何なのか私には気になる。後で触れるが、劉徽の推測では、方ますの豆が４升というから、４＊４＊４＝６斗４升が１０００寸の鬴（方体）に当たる。１斛は、１０００＊（100/64）＝１５６２.５寸という計算になる。

　すなわち「方１尺２寸５分の冪は方１尺（内接）圓の冪に等しい。」という観念に基づく制度であり、制度に基づく観念である。これにしたがえば、円周は　４＊１５６.２５/（10√2）＝３１.２５＊（√2）寸。直径は、（１０√2）寸。つまり、制度上要請される円周率は３.１２５ぴったりで、周２５直径８の比率である。とはいうものの、「（直）径１尺４寸１分４厘２毛１秒３忽有奇」というように把握できる人は極僅かだから、「方１尺而圓其外」といったほうが断然明解である。

漢志曰
　「量者、やく、合、升、斗、斛也、所以量多少也。本起於黄鍾之やく。用度數審其容、以子穀秬黍中者千有２百、實其やく、以井水準其概。合やく為合、１０合為升、１０升為斗、１０斗為斛、而五量嘉矣。　　其法用銅、方尺而圓其外、旁有_.焉。其上為斛、其下為斗、左耳為升、右耳為合、やく。其状似爵、以縻爵禄。上３下２、参天両地。圓而函方、左１右２、陰陽之象也。圓象規、其重２釣。備気物之數、各萬有１千５百２十也。聲中黄鍾始於黄鍾而反覆焉。」
其斛銘曰
　「律嘉量斛、方尺而圓（圜）其外、_.旁９厘５毛、冪１６２寸、深尺、積１６２０寸、容１０斗。」
.
祖沖之、以圓率、考之、
　　此斛當径１尺４寸３分６厘１毛９秒２忽、_.旁１分９毛有奇。劉〈音欠〉庇旁少１厘４毛有奇。〈音欠〉　　數術不精之所致也。　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　（隋書律暦志）

　新嘉量（漢嘉量）斛は、その銘によれば、深さ１０寸、底面積１６２寸、容積１６２０寸を、標榜しているますである。その底円は方尺円よりすこし広い（１６２/１５６.２５＝１.０３６８ちょうど）。内接正方形の冪（面積）は、（64/100）＊１６２＝１０３.６８寸。これを開平（√１０３.６８）すると１辺が１０.１８２３３・・寸ということになる。（略算）１００＋３.６８/２＝１０１.８４寸。実用的には、ものさしの測定の限界も考えて、１尺１分９厘、ということでよいのではないだろうか。
　なお、冪１０３.６８寸の正方形の対角線は１尺４寸４分ちょうどである。
　　１４.４＊１４.４＊（25/8）/４＝１６２寸。
敢えて周径を尋ねるなら、円周４尺５寸、直径１尺４寸４分、という答えになる。→嘉量斛底面〈寸法と面積〉

　

. チョウ 　不満之貌　（廣韻）、 　鄭氏曰、 過也。 　　　　　（前漢律暦志注） 　　(廣煕字典より) 　「過也」という語釈があるが、「不満之貌」が、満たされていない空隙がおのずと存在しているという意味なら、ただの「超過」とは語感がやや違うような気がする。 　「兆」は（「漢字源」によれば）吉兆・兆候というように、ト占で亀甲を焼いてできたひび割れのことで、ふたつに割れるという意がある。その隙間を空虚なるものが埋めているということか。 　いずれにしても高度に抽象的な言葉である。

　

_.

　ところが文字では「方尺」なる正方形が示されているので、実際の内接正方形のすがたは、「方尺」のまわりに庇（ひさし）が張り巡らされたさまになる。「_.旁９厘５毛」というのはそのことであると思う。直径（対角線）が、１尺４寸４分と決まっているのだからそこで正確に測ればよいので、_.は４辺の傍らに各「９厘５毛」あるものとして何の落度もないと思う。この計算の筋道を示すと、

　１０３.６８寸＊（156.25/100）＝１６２寸　　

この（156.25/100）率は嘉量という制度の規律であるから、冪１６２寸を標榜する円においても、内接する正方形が（たとえ姿は見えずとも）必ずなければならない。祖冲之において円周率（355/113）が自然の摂理であるにしても、
　冪１０３.６８寸の正方形（方１尺１分８厘２毛３秒３忽有奇）の対角線１尺４寸４分を基準にして、
　　　（１４.４−１４.３６１９２）/２＝０.０１９０４、
「減旁１厘９毛」というふうにことを明らめるべきである。私はそう思うが、当の祖冲之はどう考えたかというと、

　４＊１６２＊（113/355）＝２０６.２６４７・・。　√206.2467・・＝１４.３６１９２・・＝「径１尺４寸３分６厘１毛９秒２忽」。
　１４.３６１９２−１４.１４２１３＝０.２１９７９。　　　　０.２１９７９/２＝０.１０９８９５＝「１分９毛有奇」。

冪１６２寸から密率（113/355）によって、外接正方形の冪を求め、これを開平して「径１尺４寸３分６厘１毛９秒２忽」を導いた。「方尺」の対角線（１４.１４２１３寸）の両端に各「１分９毛有奇」の平行線分を加える必要がある、という考えかたをしている。なんということか！
　新嘉量の「_.旁９厘５毛」は冪１０３.６８寸の正方形の全体のすがたを仄めかす幅である。それはもちろん「方１尺」に対して（平行して）加えられている。立場の異なる彼をつかまえて、此より「１厘４毛有奇」少ないというのは、数学的な比較としてはおかしいと思う。祖冲之がいうような意味のものは、新嘉量には、影もかたちも見られないから、劉欠の数術の粗雑さが暴露されているはずもない。

方外円から周径へ

　新嘉量の側も、「径１尺４寸４分」の一言を銘記しておけば、祖冲之の傲慢な解釈を誘うに至らなかっただろう。もっというなら、はじめから「方１尺１分８厘２毛３秒３忽有奇」としておけば。これらの願いは嘉量の伝統的な作法からすれば叶わぬものであろう。痛いところである。
　このように「_.」をどのようなものとして見るかを巡って意見が鋭く対立しているが、劉徽の意見を聞いてみよう。

晋武庫中、漢時王莽作銅斛、其銘曰、
律嘉量斛、内方尺而圓其外_.旁９厘５毫、冪１百６十２寸、
深１尺、積１千６百２十寸、容１十斗、
以此術求之、得冪１百６十１寸有奇、其數相近矣、

　「_.」の理解については劉徽が祖冲之の先達になるようである。
　　　{１０（√2）＋０.１９}＊{１０（√2）＋０.１９}＊（157/50）/４＝１６１.２４６８
　なお、「方冪５千中容圓冪３千９百２十七」によれば、
　　　{１０（√2）＋０.１９}＊{１０（√2）＋０.１９}＊（3927/5000）＝１６１.３２８９
　劉徽が新嘉量を円周率の精粗の目安として尊重したことは確かであると思われるが、ここでは、円の直径或いは外接正方形の面積を基に円積が求められている。現代でもこれが普通であるから、方１尺の円が１５６.２５寸という嘉量の作法そのものがもはや数学の進歩にそぐわないものになっている。だいたいが新嘉量斛自体が、直径が整数化されるに伴い、あべこべに根幹の方（辺）長が無理数になっていることからして、この流れを率先してとりいれたものであることは隠すべくもない。

（魏陳留王景元４年、劉徽注九章商功曰）
當今大司農斛、径１尺３寸５分５厘、正深１尺。于徽術、為積１千４百４十１寸。排成餘分又有１０分寸之３。王莽銅斛、于今尺、為深９寸５分５厘、径１尺３寸６分８厘２毛。以徽術計之、于今斛、為容９斗７升４合有奇。周官考工記　氏「為量、鬴、深尺、内方尺而圓其外、其實１鬴、」　于徽術、此圓周積１千５百７十６寸。春秋左氏傳曰「齋舊四量、豆、区、鬴、鍾。４升曰豆、各自其４、以登於釜。釜１０則鍾。鍾６斛４斗。釜６斗４升。」　方１尺、深１尺、其積１千寸。若此方積容４斗２升（？６斗４升）、則通外圓積成旁容１０斗４合１やく５分之３也。以數相乗之、則斛之制、方１尺而圓其外、「_.」旁１厘７毛、冪１百５十６寸４分寸之１、深１尺、積１千５百６十２寸寸半、容１０斗。　　（隋書律暦志）

　９.６＊９.６＊（156.25/100）＊１０＝１４４０寸。方９尺６寸の対角線は、１尺３寸５分７厘６毛余り。魏の大司農斛は、いちはやく自然の円周率を採用して、減旁の処置をおこなっているようである。
　古制に関する「_.」旁１厘７毛という推測は数学者の空想であるが、祖冲之は「減旁１厘８毛」と述べている。「庇」は「減」を誤写したものかもしれない。

　要するに、方外円の方法は、嘉量の固定的な枠に縛られて数学の進歩に立ち遅れたので、新たに勃興した方内円の方法に敗れ去った。ということのようである。負けは負け、敗者の言い分は聞いてもらえないとあきらめて、その本意が理不尽に踏みにじられたという恨み言はもういわないことにする。

円周の４割をとって？

　余談になるが、円/方＝（5/4）＾2、これが信じられるとすれば、
円周の〔４割〕の長さをとって、これを〔対角線〕とする正方形を作ると、その面積は円の面積に等しい。

　　（25/8）＊（4/10）＝（5/4）、　　｛（5/4）＊（5/4）｝/2＝25/32、　　｛１＊（25/8）｝/4＝25/32、

「円周の〔４分の１〕の長さをとって、これを〔１辺〕とする正方形を作ると、その面積は円に等しい。」という指示がローマの測量論文に載っているという風説を「円田を測る」において紹介したが、噂の真相はこれかもしれない。

圓材を測る。

　嘉量に見られる円と方（内接正方形）の関係は図形として見ると面白いところがある。その関係から円の面積を測り知ることはできないだろうか。それがわりと簡単にできるのである。
　もっと一般的に「内接長方形」が対象になるが、九章算術には「鋸圓材之術」という分野がある。

今有圓材径２尺５寸。 欲為方版令厚７寸。 問、廣幾何。 答曰、２尺４寸。 術曰、 令径２尺５寸自乗。以７寸自乗、減之。 其餘、開方除之。即廣。 　此以圓径２尺５寸為〔弦〕。 　版厚７寸為〔句〕。　 　所求廣為〔股〕也。

　

　円周上の点Ａと直径ＢＣによる３角形ＡＢＣは、∠ＢＡＣ＝π/4。常に直角３角形をなす。

　（ＡＢ）＾2＋（ＡＣ）＾2＝（ＢＣ）＾2。

注（劉徽）は、ＢＣを弦、ＡＢを句、ＡＣを股としている。

　　　（２５）＾2−（７）＾2＝（２４）＾2

全くピタゴラスの定理による問題である。九章算術では、弦の自乗から句の自乗を差し引いて、開平する。
直径２尺５寸の丸太から、厚さ７寸の角材を鋸切ると、その横幅は２尺４寸になる。

　ここで丸太を嘉量に見立てて考えてみよう。丸太は直径√２尺（＝１尺４寸１分４厘２毛余り）の太さである。

１尺（１０寸）の厚さで鋸切ると、 角材の横幅は１尺（１０寸）になる。 　（１０√２）＾2−（１０）＾2＝１００。　 　√１００＝１０。　　 ５寸の厚さで鋸切ると、角材の横幅は １尺３寸２分２厘８毛余りになる。 　（１０√２）＾2−（５）＾2＝１７５。 　√１７５＝１３.２２８余り。 ２つの角材を重ねて見ると 図のようになっている。 　 　 　 　 安島直円の方法

　今度は、丸太に楔を打ち込んで縦割りに均一の厚さの板を取る作業にかえてみよう。（幅１尺の範囲で）８等分すると、板１枚の厚さは１寸２分５厘。横幅はまちまちだが、直径を弦、分断された板を元どおりに重ねた幅を句としたかたちの股として、計算できる。２枚１組で４組の板の断面積が正確に求められるので、全部合計して、元の断面積を推計しようという魂胆である。

　水色の部分と黄色の部分を合わせた全体の面積は、黄色を２倍して、重複する１００寸（方尺の冪）を差し引いた面積ということになる。安島直円（1732〜1798）は、黄色の図形の面積を「帯直弧積」と呼んでいる。
　計算の段階では√｛（ａ）＾2−（ｘ）＾2｝の数列に置き換えられている。和算家の安島直円は、この式を無限級数に展開して解くという本来の学問に帰るが、実益を求める私のような場合は、普通に開平して合計すれば用は済む。ここでは若干工夫を加えて、最終的につぎのような答えを求めている。

　丸太の直径と同じ横幅の板を捜してきて中に挿しこんだふうにして、（外側に）もう１列板を配列する。内外の配列の面積を合わせて２分した値というのが、円周と板の接点を直線で結んだ形の面積だが、丸みのある丸太の面積はこの値よりもほんのすこし大きい。

　以上で、この方法の原理を説明したことにするが、８枚にわけたところでは方寸の数を数える計算がかえって複雑になっている。ここで早くも１５６.０４４寸（よりほんのすこし大きい）という結果が出ているのにと思うと残念だが、わかりよくするために５分の板を２０枚とるという計算を実施した。

　列は、相同２枚の板を貼り合わせて、１寸の厚さになっている具合になる。

列　（股）＾2　断面積（股の寸法＊厚さ１寸）
（0     200      14.1421） 
  1     199      14.1067 
  2     196      14.0000 
  3     191      13.8203 
  4     184      13.5647 
  5     175      13.2288 
  6     164      12.8062 
  7     151      12.2882 
  8     136      11.6619 
  9     119      10.9087 
10     100      10.0000 
　　　　　　　　　　合計　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　円相当面積　　（円周率＝3.141592654）
   1〜10       126.3855     （２＊126.3855）−１００＝152.7710      3.0554 
     平均       128.4566     （２＊128.4566）−１００＝156.9131      3.1383 
   0〜 9        130.5276     （２＊130.5276）−１００＝161.0553      3.2211

　〔１〜１０〕の合計126.3855 寸は板２０枚の正味の面積で、だいぶ少なめの見積もりである（内）。
　〔０〜９〕の合計130.5276 寸は配列をずらした２０枚の面積で、だいぶ多めの見積もりである（外）。
　両側が丸みのままの板の面積はわからないが、隅の丸みをカンナで削りとって台形状にした面積は求めることが出来る。これが内外を〔平均〕した　128.4566 寸　である。これを２倍して１００寸を差し引き、156.9131寸　という結果をえた。

　　「方尺而圓其外」という円の面積は、１５６.９１３１寸よりも、ほんのすこし大きい。

　これを約して１５７寸とすれば、劉徽がいう「圓１百５十７、其中容方冪１百也、」とかわらないので、計算の能率は多角形法に勝るとも劣らない。また、「図形の内面が一定に方向付けられたとき、その面積は明瞭に現れる。」という意味では見たままであり、四方八方に散乱させたものをなにがしかの思考で整理し直さなければならない正多角形法よりも、その点は優れている。　
　
　このように（方尺から出発して）円冪が求められる理屈は、「鋸圓材之術」の術中にあるので、古代中国でこの方法を発見した人はいないともかぎらないが、或いは炭焼長者のように黄金の価値を知らなかったのかもしれない。
　考えてみると、この方法は円を関数として見る代数幾何学の方法に遠くない新しさがある。正多角形による求積法が直径と円周の明示的な関係に執着して古典幾何学の育ちであるのに対して、そこが難しい点ではある。

まとめ

　劉徽が「不可割則與圓周合體而無所失」という境地に遊ぶのは純粋の喜びであっただろうが、こうして発見された「自然の円周率」は、早速に「制度の円周率」と衝突することになる。100/64というますの容積率から、３.１２５という制度の円周率の存在をいうような見方が、科学的に、正しいかどうか不安ではある。しかし、数学教育というものが長期の訓練制度になって喜びの少ない現状において、劉徽と喜びを分かち合える人が何人いるだろう。
　それを考えるとき、（もちろん円周率３では頼りないが）、３.１２５（25/8）なら実用的にもかなりいける。計算も簡単でそれを「嘉量」というが如きである。「自然の円周率」の登場によって、そのような喜びが忘れられた。このことを追憶する余裕も必要ではないだろうか。

<参考文献>
「円田を測る」の参考文献として掲げたものに加えて、

　上野健爾　「円周率πをめぐって」　日本評論社　１９９９

　　田崎中　　「江戸時代の数学」　総合科学出版　1983　

　

『隋書律暦志　（隋書巻１６　志第１１律暦上）』
　周禮、　氏「為量、鬴深尺、内方尺而圓其外、其實１鬴、其臀１寸、其實１豆、其耳３寸、其實１升。重１釣。其聲中黄鍾。概而不税。其銘曰『時文思索、充　其極。嘉量既成、以観四國。永啓厥後、茲器維則。』」春秋左氏傳曰「齋舊四量、豆、区、鬴、鍾。４升曰豆、各自其４、以登於鬴。」鄭玄以為方尺積１０００寸、比九章粟米法少２升、８１分升之２２。祖冲之以算術考之、積凡１５６２寸半。方尺而圓其外、減傍１厘８毛。其径１尺４寸１分４毛７秒２忽有奇而深尺、即古斛之制也。九章商功法程粟１斛、積２７００寸、米１斛、積１６２０寸。菽荅麻麦１斛、積２４３０寸。此拠精粗為率、使價齋而不等。其器之積寸也、以米斛為正、則同于漢志。孫子算術曰、「６粟為圭、１０圭為秒、１０秒為撮、１０撮為勺、１０勺為合。」應　曰、「圭者自然之形、陰陽之始。４圭為撮。」孟康曰「６４黍為圭。」漢志曰「量者、やく、合、升、斗、斛也、所以量多少也。本起於黄鍾之やく。用度數審其容、以子穀秬黍中者千有２百、實其やく、以井水準其概。合やく為合、１０合為升、１０升為斗、１０斗為斛、而五量嘉矣。其法用銅、方尺而圓（圜）其外、旁有〈广兆〉焉。其上為斛、其下為斗、左耳為升、右耳為合、やく。其状似爵、以縻爵禄。上３下２、参天両地。圓而函方、左１右２、陰陽之象也。圓象規、其重２釣。備気物之數、各萬有１千５百２十也。聲中黄鍾始於黄鍾而反覆焉。」其斛銘曰「律嘉量斛、方尺而圓（圜）其外、〈广兆〉旁９厘５毛、冪１６２寸、深尺、積１６２０寸、容１０斗。」祖沖之、以圓率考之、此斛當径１尺４寸３分６厘１毛９秒２忽、〈广兆〉旁１分９毛有奇。劉〈音欠〉〈广兆〉旁少１厘４毛有奇。〈音欠〉數術不精之所致也。
　　魏陳留王景元４年、劉徽注九章商功曰、「當今大司農斛圓径１尺３寸５分５厘、深１尺、積１４４１寸１０分寸之３。王莽銅斛於今尺為９寸５分５厘、径１尺３寸６分８厘７毛。以徽術計之、於今斛為容９斗７升４合有奇。」此魏斛大而尺長、王莽斛小而尺短也。

　　後周武帝「保定元年辛巳５年、晋国造倉、獲古玉斗。〈既旦〉５年乙酉冬１０月、詔改制銅律度、遂致中和。累黍積やく、同茲玉量、與衡度無差。準為銅升、用頒天下。内径７寸１分、深２寸８分、重７斤８両。・・・・・。」今若以數計之、玉升積玉尺１１０寸８分有奇、斛積１１０８寸５分７厘３毛９秒。・・・

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